Numerické řešení HDE ve 3D

FDM metoda konečných diferencí derivace → rozdíly hodnoty fce v diskrétních bodech silná formulace? jednoduché v kartézských souřadnicích (strukturovaná síť):

\frac{∂u}{∂t} = D (\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂z^{2}})

\frac{u_{i,j,k}^{n+1} − u_{i,j,k}^{n}}{Δt} = D [\frac{u_{i+1}^{n} − 2u_{i}^{n} + u_{i−1}^{n}}{(Δx)^{2}} + \frac{u_{j+1}^{n} − 2u_{j}^{n} + u_{j−1}^{n}}{(Δy)^{2}} + \frac{u_{k+1}^{n} − 2u_{k}^{n} + u_{k−1}^{n}}{(Δz)^{2}} ]

nestrukturovaná síť → fitování paraboloidu na několik okolních bodů metodou LSM (kvůli 2. derivacím) je jedno, jakém pořadí se body počítají, při explicitní metodě vždy počítám ze starých u^{n} nová u^{n+1} a časový krok (tzn. přiřazení u^{n+1} → u^{n}) provedu až po skončení výpočtu u^{n+1} (při implicitní ale může vzniknout pěkně ţhnusná� řídká ne-tridiagonální matice) pro polynomy 2. stupně je toto diferenční schéma přesné (odpovídá Taylorově rozvoji) OBR hde5

FVM metoda konečných objemů integrování HDE přes malý objem a Gaussův teorém, toky veličiny přes stěny objemů hodnoty fce jako průměry v objemových elementech integrální formulace? nemusí být strukturovaná síť

\frac{∂u}{∂t} = ∇ · (D∇u)

∫_{V} \frac{∂u}{∂t}dV = ∫_{V} ∇ · (D∇u)dV = ∫_{S} D∇udS

V \frac{ū^{n+1} − ū^{n}}{Δt} = ∑_{stěny} DS \frac{Δū^{n}}{Δx}

pro 1-D ţobjemové� elementy to přesně odpovídá FDM :)

\frac{ū^{n+1} − ū^{n}}{Δt} = D\overbrace{\frac{S}{V}}^{\frac{1}{Δx}} \frac{1}{Δx} [\overbrace{(ū_{j+1}^{n} − ū_{j}^{n}) + (ū_{j−1}^{n} − ū_{j}^{n})}^{ū_{j+1}^{n} −2ū_{j}^{n}+ū_{j−1}^{n}}]

počet objemových elementů ve FVM versus počet diskrétních bodů ve FDM; otázka porovnání z hlediska počtu stupňů volnosti využívá se Delaunyovy triangulace (4-stěny) a Voronoiovy sítě (duální k Delaunyově) OBR tetgen

FEM metoda konečných prvků aproximace řešení u pro PDE L(u) váženou sumou bázových fcí:

û = ∑_{j=1}^{M} \overbrace{u_{j}}^{neznámé koeficienty} · \overbrace{N_{j}(x)}^{bázové fce}

a minimalizace rezidua R(u_{1}, u_{2}, …, u_{M}, x) = L(û) slabá formulace (PDE nemusí být po dosazení û splněna v určité síti bodů, ale û je optimálním řešením na celém intervalu x) snadno se implementují nestrukturované sítě metody minimalizace R:

– metoda nejmenších čtverců (LSM) — tzn. parciální derivace sumy kvadrátů R podle koeficientů u_{j} položím = 0:

\frac{∂}{∂u_{i}} ∫_{Ω} R^{2}dΩ = ∫_{Ω} 2R\frac{∂R}{∂u_{i}} dΩ = 0 i = 1, …, M

⇒ soustava rovnic pro u_{j} Příklad pro Poissonovu rci: L(u) = u′′(x) + f(x), Ω = (0, 1), u(0) = u(1) = 0 û = ∑_{j=1}^{M} u_{j}N_{j}(x) ⇒ R = f(x) + ∑ u_{j}N′′_{j}(x)

\frac{∂R}{u_{i}} = \frac{∂}{∂u_{i}} ∑_{j=1}^{M}u_{j}N′′_{j}(x) = N′′_{i}(x)

∫_{0}^{1} R\frac{∂R}{∂u_{i}} dx = ∫_{0}^{1} [f(x) + ∑_{j=1}^{M}u_{j}N′′_{j}(x)] N′′_{i}(x)dx = 0

\overbrace{− ∑_{j=1}^{M}[∫_{0}^{1} N′′_{i}(x)N′′_{j}(x)dx]}^{A_{ij}} u_{j} = \overbrace{∫_{0}^{1} f(x)N′′_{i}(x)dx}^{b_{i}}

⇒ takto vznikají soustavy rovnic (matice), které musím řešit (invertovat)

– metoda vážených reziduí (WRM):

∫_{Ω} W_{i}RdΩ = 0 i = 1, …, M

– kolokační metoda: W_{i} = δ(x − x^{[i]}); δ-fce, x^{[i]} jsou kolokační body (toto vlastně odpovídá FDM!)

– Galerkinova metoda: W_{i} = N_{i} (váhy jsou přímo bázové fce)

existují i další metody, např. spektrální, … bakalářka nebo diplomka…