
\input povetron

\article{Kosmologie homogenn�ho vesm�ru}{Miroslav Bro�}

\section{Kosmologick� princip}

Z�kladn�m v�chodiskem pro n� nejjednodu��� model vesm�ru je pozorov�n�,
�e na velk�ch m���tk�ch je vesm�r {\em izotropn�\/}. Ve v�ech sm�rech
vid�me nap��klad t�m�� stejn� mno�stv� galaxi� (viz obr.~\ref{00velkoskalova_struktura_vesmiru_slice-2dFblue})
nebo kosmick� mikrovlnn� pozad� m� na sm�ru t�m�� nez�vislou intenzitu.

Tato pozorovan� izotropie a~{\em kopern�kovsk� princip\/},
to jest v�ra, �e nejsme na nijak v�zna�n�m m�st� vesm�ru,
znamenaj�, �e vesm�r je {\em homogenn�\/} (v�ude stejn�).

Na druhou stranu mus�me zm�nit {\em Kepler�v--Olbers�v paradox\/}.
Pokud by vesm�r byl nekone�n� a~z�rove� v��n�,
hv�zdy v~n�m rozm�st�n� s~koncentrac�~$n$ a~se z��iv�m v�konu~$L$,
by produkovaly celkov�
%
$$\int_0^\infty\! {L\over 4\pi r^2}\,n\, 4\pi r^2 \d r = L n \int_0^\infty\! \d r = \infty\,,\label{kepler_olbers}$$
%
{\em ale\/} v~noci je tma.
Znamen� to tedy, �e vesm�r m�l n�jak� po��tek a~{\em nen� statick�\/}.


\caption{Velko�k�lov� struktura vesm�ru pozorovan� p�ehl�dkou 2dF.}
\figs{00velkoskalova_struktura_vesmiru_slice-2dFblue}{8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Einsteinovy rovnice pole}

Abychom vystihli v�echny podstatn� vlastnosti vesm�ru,
mus�me pracovat se zak�iven�m �ty�rozm�rn�m �asoprostorem,
Jde vlastn� o~zobecn�n� obvykl�ho t��rozm�rn�ho Euklidova prostoru,
v~n�m� vzd�lenosti mezi body m���me jednodu�e pomoc� Pythagorovy v�ty
$\d s^2 = (\d x^1)^2 + (\d x^2)^2 + (\d x^3)^2\,.$
%
Infinetezim�ln� vzd�lenost mezi ud�lostmi (\uv{body}) v~�asoprostoru
je popisov�na obdobn� metrick�m tenzorem~$g_{ik}$:
%
$$\d s^2 = g_{ik} \d x^i \d x^k = g_{00} (\d x^0)^2 + g_{01} \d x^0 \d x^1 + \dots\,,$$
%
p�i�em� p�es opakuj�c� se indexy~$i$ a~$k = 0\dots 3$ podle suma�n�ho pravidla s��t�me.
�asoprostor je toti� varieta, �ili je lok�ln� ploch�,
obdobn� jako povrch Zem�koule vid�n� zbl�zka.
Pro ploch� (Minkowsk�ho) �asoprostor by matice $g_{ik}$ byla jednoduch�:
$$g_{ik} \equiv \eta_{ik} = \pmatrix{
-c^2 & 0 & 0 & 0 \cr
   0 & 1 & 0 & 0 \cr
   0 & 0 & 1 & 0 \cr
   0 & 0 & 0 & 1 }\,,$$
ale v~obecn�m p��pad� je $g_{ik}(t,x,y,z)$ zde jin� ne� $g_{ik}(t',x',y',z')$ jinde.
--- pot�ebovali bychom zjistit $4\times 4 = 16$~funkc� �asu a~sou�adnic
(respektive jen 10, kv�li symetrii $g_{ik} = g_{ki}$).

Pr�v� k~tomu slou�� Einsteinovy rovnice (EFE), kter� popisuj� vztah mezi k�ivost� �asoprostoru
(metrikou~$g_{ik}$) a~\uv{obsahem} vesm�ru (tenzorem energie a~hybnosti~$T_{ik}$),
kter� je zdrojem gravitace:
%
$$R_{ik} - {1\over2} R g_{ik} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} \, T_{ik}\,.\label{EFE}$$
%
P�esto�e tyto rovnice vypadaj� \uv{hroziv�}, hned v~n�sleduj�c� kapitole
je velmi zjednodu��me, proto�e n� vesm�r je p�ece homogenn�
($g_{ik}$ je v�ude stejn�).

\mynote{
Ricciho tenzor~$R_{ik}$ a~Ricciho sk�lar~$R$ jsou prvn� a~druh� parci�ln� derivace metriky podle sou�adnic:
%
$$\eqalign{
R      &= g^{ik} R_{ik} \,, \cr
R_{ik} &= R^l_{ilk}     \,, \cr
}$$
%
p�i�em� Riemann�v tenzor:
%
$$R^i_{klm} = {\partial\Gamma^i_{km}\over\partial x^l} - {\partial\Gamma^i_{kl}\over\partial x^m} + \Gamma^i_{nl}\Gamma^n_{km} - \Gamma^i_{nm}\Gamma^n_{kl}$$
%
a~Christoffelovy symboly:
%
$$\Gamma^i_{kl} = {1\over2} g^{im} \left( {\partial g_{mk}\over\partial x^l} + {\partial g_{ml}\over\partial x^k} - {\partial g_{kl}\over\partial x^m}\right)\,.$$
%
$\Lambda$ ozna�uje kosmologickou konstantu (��slo),
$G$~gravita�n� konstantu,
$c$~rychlost sv�tla ve vakuu.
Slo�kami~$T_{ik}$ mohou b�t op�t n�jak� funkce �asu, sou�adnic nebo rychlost�,
nicm�n� pro kapalinu s~hustotou~$\rho$ a~tlakem~$p$ plat� (v~lok�ln� inerci�ln� soustav�):
%
$$T^i_k = \pmatrix{
\rho & 0     & 0     & 0     \cr
0    & p/c^2 & 0     & 0     \cr
0    & 0     & p/c^2 & 0     \cr
0    & 0     & 0     & p/c^2 }\,.$$
%
Z~matematick�ho hlediska jde o~soustavu 10~(nez�visl�ch)
neline�rn�ch parci�ln�ch diferenci�ln�ch rovnic.
Nen� �e�iteln� analyticky, a� na n�kolik speci�ln�ch p��pad�.

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{FLRW metrika}

P�i hled�n� homogenn� metriky si polo�me si ot�zku, lze popsat k�ivost jedn�m ��slem?
Vezm�me jako p��klad povrch koule o~polom�ru~$R$, na n�� vyzna��me kru�nici o~polom�ru~$r$.
Na rovn� plo�e bychom o�ek�vali obvod~$o_{\rm o�ek�van�} = 2\pi r$,
ale zde bychom nam��ili:
%
$$o_{\rm zm��en�} = 2\pi R\sin\vartheta = 2\pi R\sin{r\over R} \doteq 2\pi R\left[ {r\over R} - {1\over3!}\left({r\over R}\right)^3 + \dots \right]\,.$$
%
K�ivost je pak definov�na pomoc� t�chto obvod� jako:
%
$$K \equiv {3\over\pi} \lim_{r\to 0} {o_{\rm o�ek�van�} - o_{\rm zm��en�}\over r^3}\,,\label{krivost}$$
%
co� pro v��e uvedenou kouli d�v�:
%
$$K_{\rm koule} = {1\over R^2}\,.$$

Nyn� p�ejd�me k~m��en� vzd�lenost�. Ve dvourozm�rn� euklidovsk� geometrii
a~v~pol�rn�ch sou�adnic�ch bychom m�li prost� $(\d s)^2 = (\d r)^2 + (r\d\phi)^2\,.$
Av�ak na kulov� plo�e je (viz obr.~\ref{Carrol_Ostlie_2007_Fig_19.18}):
%
$$(\d s)^2 = (R\d\vartheta)^2 + (r\d\phi)^2\,,$$
%
kde
%
$$R\d\vartheta = {\d r\over\cos\vartheta} = {\d r\over{\sqrt{R^2-r^2}\over R}} = {\d r\over\sqrt{1-{r^2\over R^2}}} = {\d r\over\sqrt{1-Kr^2}}\,.$$
%
Zobecn�n� na t��rozm�rn� prostor provedeme z�m�nou $r\d\phi$ za $r\d\theta$ a~$r\sin\theta\,\d\phi$.


\caption{Geometrie na plo�e a~na kouli. P�evzato z~\ref{carrol_ostlie_2007}}
\figs{Carrol_Ostlie_2007_Fig_19.18}{7cm}


Nyn� jsme teoreticky p�ipraveni napsat obecnou metriku pro zak�iven� �asoprostor:
%
$$\d s^2 = -c^2\d t^2 + a(t)^2 \left[{\d r^2\over 1-Kr^2} + r^2(\d\theta^2 + \sin^2\!\theta\,\d\phi^2)\right]\,,\label{FLRW_ds}$$
%
kter� se naz�v� Friedmannova--Lem\^aitrova--Robertsonova--Walkerova, zkr�cen� FLRW.
Krom� (zat�m nezn�m�) k�ivosti~$K$ jsme do n� doplnili i~(zat�m nezn�mou)
funkci �asu~$a(t)$, zvanou expanzn� parametr, je� umo�n� popisovat rozp�n�n� nebo smr��ov�n� vesm�ru.
Pochopiteln� v~metrice nejsou ��dn� funkce prostorov�ch sou�adnic,
proto�e n� vesm�r je v�ude stejn�. V~maticov�m z�pisu je:
%
$$g_{ik} = \pmatrix{
-c^2 & 0                   & 0                     & 0 \cr
   0 & {a(t)^2\over1-Kr^2} & 0                     & 0 \cr
   0 & 0                   & a(t)^2 r^2 \d\theta^2 & 0 \cr
   0 & 0                   & 0                     & a(t)^2 r^2 \sin^2\!\theta\,\d\phi^2 }\,.\label{FLRW}$$

Expanzn� parametr lze libovoln� �k�lovat, nicm�n� pro p�ehlednost se vol� obvykle
$a(t_0) = 1$ dnes, pak $K$ je k�ivost,
anebo $K = -1, 0$ nebo $ +1$, pak $a(t)$ je k�ivost.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Friedmannovy rce}

Dosazen�m FLRW metriky~\ref{FLRW} do Einsteinov�ch rovnic~\ref{EFE} z�sk�me rovnice
pro expanzn� parametr~$a(t)$ a~k�ivost~$K$. Nam�sto ru�n�ho v�po�tu
pou�ijeme algebraick� manipul�tor Reduce:

\medskip
\verbttsmall|%% oznaceni souradnic (x^0,x^1,x^2,x^3) <=> (t,r,theta,phi)

matrix coords(1,4);
coords := mat((t,r,theta,phi));
procedure x(i); coords(1,i+1);          % matice se indexuji od 1, nikoli od 0!

%% FLRW metrika g_ik

a(t); Y;                                % obecna fce t

g := mat(
  (-c^2, 0                 , 0  , 0               ),
  (   0, (a(t))^2/(1-K*r^2), 0  , 0               ),
  (   0, 0                 , (a(t))^2 r^2, 0               ),
  (   0, 0                 , 0  , (a(t))^2 r^2 sin(theta)^2)
);

g_ := 1/g;                 % kontravariantni metrika g^ik <=> inverzni matice

%% Christoffelovy symboly

procedure Christoffel(i,k,l); begin
  scalar Ch;
  Ch:=0;
  for m := 0:3 do begin                       % opet indexace g_ik, g^ik od 1
     Ch:=Ch + 1/2 * g_(i+1,m+1) *
       ( df(g(m+1,k+1), x(l)) + df(g(m+1,l+1), x(k)) - df(g(k+1,l+1), x(m)) )
  end;
  return trigsimp(Ch);                        % zjednodusi goniometricke fce
end;

for i := 0:3 do begin
  for k := 0:3 do begin
    for l := 0:3 do begin
      Gamma(i,k,l) := Christoffel(i,k,l);     % ulozeni do pole setri CPU time
      if (Gamma(i,k,l) neq 0) then begin
        write "Gamma^",i,"_",k,l," = ",Gamma(i,k,l);
      end;
    end;
  end;
end;

%% Riemannuv tenzor

procedure Riemann(i,k,l,m); begin
  scalar Ri,n;
  Ri := df(Gamma(i,k,m), x(l)) - df(Gamma(i,k,l), x(m));
  for n := 0:3 do begin
    Ri:=Ri + Gamma(i,n,l)*Gamma(n,k,m) - Gamma(i,n,m)*Gamma(n,k,l);
  end;
  return trigsimp(Ri);
end;

for i := 0:3 do begin
  for k := 0:3 do begin
    for l := 0:3 do begin
      for m := 0:3 do begin
        Ri := Riemann(i,k,l,m);
        if (Ri neq 0) then begin
          write "R^",i,"_",k,l,m," = ",Ri;
        end;
      end;
    end;
  end;
end;

%% Ricciho tenzor

procedure Ricci(i,k); begin
  scalar Rc,l;
  Rc:=0;
  for l := 0:3 do begin
    Rc:=Rc + Riemann(l,i,l,k);
  end;
  return trigsimp(Rc);
end;

matrix R_ik(4,4);

for i := 0:3 do begin
  for k := 0:3 do begin
    R_ik(i+1,k+1) := Ricci(i,k);
    write "R_",i,k," = ", R_ik(i+1,k+1);
  end;
end;

%% Ricciho skalar

procedure R(); begin
  scalar R,i,k;
  R:=0;
  for i := 0:3 do begin
    for k := 0:3 do begin
      R:=R + g_(i+1,k+1) * R_ik(i+1,k+1);
    end;
  end;
  return trigsimp(R);
end;

write "R = ", R();

%% tenzor energie a hybnosti T^i_k pro tekutinu

T__ik := mat(
  ( rho*c^2, 0, 0, 0),
  (       0, p, 0, 0),
  (       0, 0, p, 0),
  (       0, 0, 0, p)
);

T_ik := g * T__ik;                        % kovariantni T_ik

%% Einsteinovy rce pole

write "EFE: ", R_ik - 1/2 * R() * g - Lambda_ * g, " = ", (8*pi*capG/c^4) * T_ik;
bye;|
\medskip

V�sledn� slo�ka 00 Einsteinov�ch rovnic se naz�v� Friedmannova rovnice:
%
$$\dot a^2 + K c^2 = {8\pi G\over 3} \biggl(\rho + \overbrace{\Lambda c^2\over 8\pi G}^{\equiv\,\rho_\Lambda} \biggr) a^2\,.\label{eq:friedmann}$$
%
\mynote{%
Ze stopy EFE vych�z� je�t� druh� Friedmannova rovnice:
$$\ddot a + \dot a^2 + K c^2 = -{4\pi G\over3} \left(\rho + 3{p\over c^2} + {\Lambda c^2\over 2\pi G} \right) a^2\,.$$

Za p�edpokladu platnosti rovnice kontinuity:
$${\d(\rho a^3)\over\d t} = -{p\over c^2} {\d (a^3)\over\d t}$$ % tj. zobecn�n� $a^3 \rho = {\rm konst.}$
lze odvodit i~jin� u��van� tvar Friedmannovy rovnice~\ref{eq:friedmann}; nejprve ji n�sob�me~$a$:
$$\dot a^2 a + Kc^2 a = {8\pi G\over 3} \rho a^3\,,$$
pak derivujeme podle �asu:
$$2\dot a\ddot a a + \dot a^2 \dot a + \overbrace{Kc^2}^\hbx{$-\dot a^2 + {8\pi G\over 3}\rho a^2$} \dot a = {8\pi G\over 3} \overbrace{\d(\rho a^3)\over\d t}^\hbx{$-{p\over c^2} {\d (a^3)\over\d t}$}\,,$$
odkud ihned plyne rovnice pro zrychlen�:
$$\ddot a = -{4\pi G\over3} \left(\rho + 3{p\over c^2}\right)\,a\,.$$%
}%

Abychom mohli vypo��tat konkr�tn� pr�b�h~$a(t)$, pota�mo~$\rho(t)$, mus�me zn�t je�t�
{\em stavov� rovnice\/}, respektive z�vislosti~$\rho(a)$ pro r�zn� substance,
co� shrnuje n�sleduj�c� tabulka:

\table{
\halign{\offinterlineskip
\tabskip=0em
\strut #\hfil & 
\kern1em\hfil #& 
#\hfil & 
\kern1em\hfil #& 
#\hfil & 
\kern4em\hfil #& 
#\hfil \cr
{} & \multispan{2}{\hfil �k�lov�n� hustoty\hfil\kern1em} & \multispan{2}{\hfil stavov� rovnice\hfil} \cr
hmota (prach):	 		& $\rho_{\rm m}$	& $\propto 1/a^3$	& $p_{\rm m}$	&$= 0$ 			\cr
z��en�, neutrina: 		& $\rho_{\rm rel}$	& $\propto 1/a^4$ 	& $p_{\rm rel}$	&$= \rho_{\rm rel}/3$	\cr
$\Lambda$ (temn� energie): 	& $\rho_\Lambda$	& $\propto{\rm konst.}$	& $p_\Lambda$	&$= -\rho_\Lambda$ 	\cr }
}

Hmota (a� u� ve form� hv�zd/galaxi� nebo jako temn� hmota),
je strh�van� rozp�naj�c�m se prostorem a~jej� hustota p�irozen� kles� jako $1/a^3$.
Pro fotony se v�ak krom� poklesu jejich koncentrace uplat�uje je�t� prodlu�ov�n� vlnov� d�lky,
kter� ovliv�uje energii podle vztahu $E = hc/\lambda$, tak�e v�sledn� �m�ra je $1/a^4$.
Hustota odpov�daj�c� kosmologick� konstant� naopak z�st�v� konstantn�;
pokud ji p�evedeme na pravou stranu EFE hovo��me t� o~{\em temn� energii\/}.

Pro popis rozp�n�n� se krom� expanzn�ho parametru~$a(t)$ pou��v� tak�
{\em Hubble�v parametr\/}:
%
$$H(t) \equiv {\dot a\over a}\,.\label{hubble}$$
%
Pro dne�ek (z~bl�zk�ch objekt�) je zm��ena hodnota
$H_0 = 71\,{\rm km}\cdot{\rm s}^{-1}\cdot{\rm Mpc}^{-1}$,
co� \uv{numerologicky} zhruba odpov�d� rychlosti vzdalov�n� M�s�ce od Zem�.
%
D�le zavedeme {\em decelera�n� parametr\/}:
%
$$q(t) \equiv - {\ddot a a\over\dot a^2}\label{decel}$$
%
pro posouzen� toho, kdy se rozp�n�n� zpomaluje ($q>0$) a~kdy zrychluje ($q<0$).
%
M��itelnou veli�inou je {\em rud� posuv\/} (angl.~redshift),
jeho definice a~vztah k~$a(t)$ je:
%
$$z\equiv {\lambda_{\rm dnes\ pozorovan�} - \lambda_{\rm emitovan�}\over\lambda_{\rm emitovan�}}\,,
\qquad 1+z = {a_0\over a}\,.\label{redshift}$$
%
Z~d�vod�, kter� budou z�ejm� z�hy, zavedeme {\em kritickou hustotu} jako:
%
$$\rho_{\rm c} = {3 H^2\over 8\pi G}\,.\label{rho_c}$$


Pro v�po�etn� ��ely Friedmannovu rovnici~\ref{eq:friedmann} uprav�me s~vyu�it�m stavov�ch rovnic:%
%
$$\dot a^2 + Kc^2 = \overbrace{8\pi G\over 3}^{=\,{H_0^2\over\rho_{\rm c0}}} \left( {\rho_{\rm m0}\over a^3} + {\rho_{\rm rel0}\over a^4} + \rho_{\Lambda0}\right) a^2\,,$$
%
definujeme bezrozm�rn� veli�iny~$\Omega$ jako:
%
$$\Omega \equiv {\rho\over\rho_{\rm c}}\,,$$
%
pak
%
$$\dot a^2 + Kc^2 = H_0^2 \left( {\Omega_{\rm m0}\over a} + {\Omega_{\rm rel0}\over a^2} + \Omega_{\Lambda0} a^2 \right)$$
%
a~�len $Kc^2$ vylou��me pomoc� t�e rovnice, ale napsan� pro �as $t = t_0$,
kdy je $a_0 = 1$, $\dot a_0 = H_0 a_0 = H_0$:
%
$$H_0^2 + Kc^2 = H_0^2 \left( \Omega_{\rm m0} + \Omega_{\rm rel0} + \Omega_{\Lambda0} \right)\,,$$
%
�ili:
%
$$\dot a^2 = H_0^2 \left( {\Omega_{\rm m0}\over a} + {\Omega_{\rm rel0}\over a^2} + \Omega_{\Lambda0} a^2 + 1 - \Omega_{\rm m0} - \Omega_{\rm rel0} - \Omega_{\Lambda0} \right)\,,\label{friedmann_omega}$$
%
co� je oby�ejn� diferenci�ln� rovnice 1.~��du pro $a(t)$,
kterou m��eme snadno �e�it numericky
(viz podstatnou ��st k�du programu ve Fortranu~77):

\medskip
\verbttsmall|c  pocatecni podminky
      t = 0.d0
      a = a_0
      tout = t
      i1st = 1

c  hlavni cyklus
      do while ((t.lt.tstop).and.(a.gt.0d0))

c  stavove rovnice pro hmotu (prach), zareni a vakuum => skalovani hustot
        Omega_m = Omega_m0 / a
        Omega_rel = Omega_rel0 / a**2
        Omega_lambda = Omega_lambda0 * a**2

c  rudy posuv
        z = a_0/a - 1.d0

c  zkrat casovy krok, je-li treba
        if ((i1st.eq.1).and.(a.lt.1.d-2)) then
          dt = 1.d-3*dt
          dtout = 1.d-4*dtout
          i1st = 0
        endif

c  standardni vystup
        if (t.ge.tout) then
          write(*,*) (t_0+sign*t)/Gyr, a, z, Omega_m, Omega_rel,
     :      Omega_lambda
          tout = t + dtout
        endif

c  Friedmannova rovnice
        da_dt = sqrt(H_0**2 * (Omega_m + Omega_rel + Omega_lambda
     :    + 1.d0 - Omega_m0 - Omega_rel0 - Omega_lambda0))

c  jednoduchy Euleruv integrator
        a = a + da_dt*dt*sign
        t = t + dt

      enddo|
\medskip


N�kter� hypotetick� vesm�ry pochop�me i~bez programu:
%
\beginitem
\myitem pro {\em pr�zdn�\/} vesm�r ($T_{ik} = 0$, bez $\Lambda$)
vych�z� $\dot a^2 = 0$, $a = {\rm konst.}$, $H = 0$, $K = 0$,
�ili je v~n�m statick� Minkowsk�ho ploch� �asoprostor ($g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}$).

\myitem {\em de~Sitter�v\/} vesm�r ($T_{ik} = 0$, pouze $\Lambda>0$)
se vyzna�uje exponenci�ln�m rozp�n�n�m~$a(t) \propto \exp\chi t$.

\myitem pro {\em prach a~plyn\/} existuje kritick� hustota~$\rho_c$ (viz~\ref{rho_c}); je-li

$\rho = \rho_{\rm c}$ $\Rightarrow$ $K=0$, tzn.~vesm�r je ploch�;

$\rho > \rho_{\rm c}$ $\Rightarrow$ $K>0$, je uzav�en�, m� kulovou geometrii;

$\rho < \rho_{\rm c}$ $\Rightarrow$ $K<0$, je otev�en�, geometrie je hyperbolick�.

Pro podkritick� hmotou vypln�n� vesm�r plat� �m�ra~$a \propto t^{2/3}$.

\myitem vesm�r vypln�n� {\em z��en�m\/} se rozp�n� jako $a \propto t^{1/2}$

\myitem n� {\em pozorovan�\/} vesm�r m� po��te�n� podm�nky (v~�ase $t = t_0$) p�ibli�n�
$\Omega_{\rm m0} = 0,27$,
$\Omega_{\rm rel0} = 8,24\cdot10^{-5}$,
$\Omega_{\Lambda0} = 0,73$.
Na obr.~\ref{friedmann_OMEGA_PLANE} a~\ref{Omega} vid�me jeho v�voj spo�ten� v��e uveden�m programem.
M��eme z~n�j ode��st okam�ik Velk�ho t�esku
$t_{\rm BB} = -13,7\,{\rm Gyr}$, kdy je $a = 0$,
za��tek zrychlov�n� v~�ase $t = -6,7\,{\rm Gyr}$,
nebo trv�n� �ry z��en� ($\rho_{\rm rel} > \rho_{\rm m}$) asi 60\,000~rok� od Velk�ho t�esku

\enditem

V~dal�� kapitole vysv�tl�me, z~�eho se odvozuj� v��e uveden� hodnoty~$\Omega$.


\caption{V�voj expanzn�ho parametru~$a(t)$ pro r�zn� hodnoty~$\Omega_{\rm m0}$, $\Omega_{\Lambda0}$, $\Omega_{\rm rel0}$.
Hodnota Hubbleova parametru je ve v�ech p��padech
$H_0 = 70,9\,{\rm km}\cdot{\rm s}^{-1}\cdot{\rm Mpc}^{-1}$.}
\figs{friedmann_OMEGA_PLANE}{\hsize}

\vskip-\figureamount

\caption{�asov� z�vislosti relativn�ch hustot~$\Omega' = {\rho\over\rho_{\rm c0}}$
pro n� pozorovan� vesm�r. Rozli�ujeme p�itom p��sp�vky od
kosmologick� konstanty, temn� hmoty + baryon� a~od z��en�.
Na detailu vpravo je patrn� obdob� od Velk�ho t�esku do 1\,Myr.\label{Omega}}
\tmpdim=5.2cm%
\figure{%
  \imgysize{\tmpdim}\img{upload/Omega}%
  \hfil%
  \imgysize{\tmpdim}\img{upload/Omega_detail}%
}%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\section{Jak se m��� vesm�r?}

Parametry na�eho vesm�ru jsou omezen� p�edev��m dv�ma pozorov�n�mi:
i)~m��en�m fluktuac� kosmick�ho mikrovlnn�ho z��en� (CMB);
ii)~fotometri� a~spektroskopi� supernov typu~Ia.

Z~m��en� intenzity kosmick�ho mikrovlnn�ho z��en� se vypo��t�v�
prostorov� spektrum fluktuac� (p�i�em� se ode�te dip�ln� slo�ka a~ru�en� Ml��nou dr�hou)
a~ta se fituje kosmologick�mi modely (viz obr.~\ref{01wmap_cmb}).
Nen� to jednoduch� homogenn� model, to bychom pochopiteln� nedostali ��dn� fluktuace CMB.%
%
\myfootnote{Toto z��en� vzniklo asi 380\,000~rok� po Velk�m t�esku, kdy� do�lo
k~rekombinaci, �ili z��en� se odd�lilo od l�tky a~vesm�r se stal pr�hledn�.
Jedn� se vlastn� o~nejvzd�len�j�� objekt, kter� m��eme pozorovat.
Pozor, nen� mo�n� tvrdit, �e vzd�lenost CMB je 13,7\,Gly!
V~okam�iku, kdy do�lo k~emisi foton�, byl zdroj od n�s (budouc� Zem�) vzd�len {\em jen\/} 40\,Mly.
Toto z��en� pak cestovalo 13,7\,Gy skrz rozp�naj�c� se prostor,
tak�e souhybn� vzd�lenost n�kdej��ho zdroje (dnes n�jak� galaxie)
od sou�asn� Zem� je 46,5\,Gly.}

Luminozitn� vzd�lenosti supernov~Ia jsou ur�ovan� nez�visle pomoc� cefeid,
Tullyho--Fisherov�m vztahem a~porovn�vaj� se s~rud�m posuvem mate�sk�ch
galaxi� (viz obr.~\ref{Union2.1_Hubble_slide}).


\caption{Vlevo fluktuace intenzity mikrovlnn�ho z��en� zn�zorn�n�
barevnou �k�lou na map� oblohy. Vpravo odpov�daj�c� prostorov� spektrum,
�ili z�vislost amplitudy na prostorov� frekvenci (multip�lov�m momentu~$\ell$).
Nejv�t�� amplitudu vykazuj� fluktuace s~�hlov�m rozm�rem okolo~$1^\circ$.\label{01wmap_cmb}}
%
\tmpdim=3.8cm
\figure{%
  \hbox to\hsize{%
  \imgysize{\tmpdim}\img{upload/01wmap_cmb}%
  \hfill
  \imgysize{\tmpdim}\img{upload/02spektrum_CMB_zareni_WMAP_TT_power_spectrum}%
  }%
}

\caption{Vztah mezi modulem vzd�lenosti a~rud�m posuvem pro velk� vzorek
supernov typu~Ia. P�evzato z~\ref{Union}.}
\figs{Union2.1_Hubble_slide}{7cm}


Parametry vesm�ru a~jejich nejistoty odvozen� z~dat WMAP, SN~Ia a~SDSS (Spergel \etal\ 2006) jsou n�sleduj�c�:

\table{%
\halign{%
\offinterlineskip
\vrule height 12pt depth 4pt width 0pt#\hfil = &
#\hfil &
\ #\hfil\cr
$H_0$ 			& $70,9^{+2,4}_{-3,2}\,{\rm km}\cdot{\rm s}^{-1}\cdot{\rm Mpc}^{-1}$	& Hubble�v parametr		\cr
$\rho_0$ 		& $0,94^{+0,06}_{-0,09}\cdot10^{-26}\,{\rm kg}\cdot{\rm m}^{-3}$	& celkov� hustota		\cr
$\Omega_{\rm b}$ 	& $0,0444^{+0,0042}_{-0,0035}$ 						& hustota baryon�		\cr
$\Omega_{\rm CDM+b}$ 	& $0,266^{+0,025}_{-0,040}$ 						& hustota temn� hmoty + baryon�	\cr
$\Omega_\Lambda$ 	& $0,732^{+0,040}_{-0,025}$ 						& hustota temn� energie		\cr
$z_{\rm ion}$ 		& $10,5^{+2,6}_{-2,9}$			 				& rud� posuv reionizace		\cr
$\tau$ 			& $0,079^{+0,029}_{-0,032}$	 					& optick� hloubka reionizace	\cr
$t_0$ 			& $13,73^{+0,13}_{-0,17}\,{\rm Gyr}$ 					& st��� vesm�ru			\cr }
}

V~sou�asnosti je kritick� hustota rovna
$\rho_{{\rm c}0} = {3 H_0^2\over 8\pi G}
\doteq 10^{-26}\,{\rm kg}\cdot{\rm m}^{-3}
\simeq 6\,{\rm proton�}\cdot{\rm m}^{-3}$,
{\em ale\/} nejsou to protony!
V�t�inu obsahu vesm�ru tvo�� kosmologick� konstanta alias temn� energie,
zbytek temn� hmota
a~\uv{zanedbatelnou} men�inu (4\,\%) baryony.
%
Na obr.~\ref{Union2.1_Om-Ol_slide} vid�me, jak d�le�it� je pozorov�n� r�zn�mi metodami,
proto�e ka�d� m� jin� nejistoty, p�i�em� v��e uveden� p�esn� hodnoty~$\Omega$ jsou v~jejich pr�se��ku.

Pozorujeme tedy $\Omega = \Omega_\Lambda + \Omega_{\rm CDM} + \Omega_{\rm baryon�} + \hbox{\smallfonts (nepatrn� p��sp�vky)} = (1{,}00\pm0{,}04)$,
�ili ploch� vesm�r je v~souladu s~pozorov�n�m. Uv�domme si ale, �e v~principu {\em nelze\/} nikdy prok�zat p�esnou plochost!

Poznamenejme, �e $\Lambda$~p�isp�v� svou hustotou ke zpomalov�n� rozp�n�n� (a~vyrovn�v� jeho k�ivost na nulu),
{\em ale\/} z�rove� sv�m z�porn�m tlakem rozp�n�n� zrychluje.
Existuj� samoz�ejm� i~jin� hypot�zy,
hovo�� se nap��klad o~{\em kvintesenci\/}, kter� m� odli�nou stavovou rovnici, prom�nnou v~�ase.
Parametry kosmologick�ho modelu by se pak do jist� m�ry zm�nily.

\caption{Chybov� \uv{elipsy} pro parametry $\Omega_{\rm m0}$ a~$\Omega_{\Lambda0}$
vypo�ten� z~m��en� kosmick�ho mikrovlnn�ho pozad� (CMB),
ze supernov Ia (SNe) a~ze struktur baryonick� hmoty (BAO).
D�le�it� je pr�se��k vypl�vaj�c� ze v�ech m��en�, kter� je vyzna�en �ed�.
P�evzato z~\ref{Union}.}
\figs{Union2.1_Om-Ol_slide}{5cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Co je zdrojem temn� hmoty?}

Pro existenci temn� hmoty sv�d�� pozorov�n� nez�visl� na jak�chkoli
kosmologick�ch modelech.
%
Jde zejm�na o~nekeplerovskou rotaci vn�j��ch ��st� galaxi�
(ploch� rota�n� k�ivka $v(r)$), zp�soben� halem nesv�t�c� hmoty.

Oblaka hork�ho mezigalaktick�ho plynu z���c�ho v~rentgenov�m oboru,
kter� se pozoruj� v~kup�ch galaxi�, se vyzna�uj� velkou rychlost�
emituj�c�ch ��stic, je� p�esahuje rychlost �nikovou (po��tanou ze sv�t�c� l�tky).
Proto�e plyn navzdory tomu pozorujeme, mus� b�t kupy celkov�
asi 10\,kr�t hmotn�j�� ne� sv�t�c� l�tka.

Temnou hmotou nemohou b�t stel�rn� �ern� d�ry, ty byly vyvr�ceny
negativn�m pozorov�n�m gravita�n�ch �o�ek ve Velk�m Magellanov� mra�nu.

Temn� hmota mus� b�t {\em nebaryonick�}, proto�e jinak by nukleosynt�za
po Velk�m t�esku prob�hla odli�n�, byla by p�ekon�na beryliov� bari�ra
a~vzniklo by mnoho primordi�ln�ho �eleza (viz obr.~\ref{Nollett_Burlet_2000_Big_Bang_nucleosynthesis_e123505.ps1}).
Nesm� ani interagovat elektromagneticky, proto�e by se prozradila
n�jak�m z��en�m.

Proto se uva�uje o~hmotn�ch neutr�ln�ch element�rn�ch ��stic�ch
interaguj�c�ch pouze slab� a~gravita�n�. Mimo jin� byly navrhov�ny
axiony nebo
neutralina (superpartne�i neutrin v~supersymetrick�ch teori�ch),
nicm�n� zat�m neexistuje experiment�ln� potvrzen� t�chto hypot�z.


\caption{Schematick� zn�zorn�n� jadern�ch reakc�, kter� se uplat�ovaly
b�hem nukleosynt�zy po Velk�m t�esku. P�evzato z~\ref{Nollett_Burlet_2000}.}
\figs{Nollett_Burlet_2000_Big_Bang_nucleosynthesis_e123505.ps1}{6cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Co je zdrojem temn� energie?}

Nejjednodu���m vysv�tlen�m by mohlo b�t, �e v~Einsteinov�ch rovnic�ch
prost� mus� b�t uvedena kosmologick� konstanta~$\Lambda$, nicm�n�
nen� uspokojiv�, kdy� nem�me teorii vysv�tluj�c� jej� velikost.

P�irozen�m vysv�tlen�m by byla {\em energie vakua\/}, na ne�
v~kvantov� mechanice nahl���me jako na prostor pln� virtu�ln�ch ��stic.
Probl�m je, �e z~kvantov� teorie vych�z� o~120~��d� v�t�� hodnota
ne� pozorovan� $\rho_\Lambda$! T�ko pak takov� interpretaci v��it.

\mynote{
M�jme jednu virtu�ln� ��stici o~hmotnosti $m \simeq {\Delta E\over c^2}$
v~boxu o~rozm�ru $L \simeq \Delta x$.
Jej� �ivotn� doba plyne z~Heisenbergova principu neur�itosti:
%
$$\Delta t \simeq {\hbar\over\Delta E} \simeq {\hbar\over mc^2}\,.$$
%
Proto�e nejistota hybnosti $\Delta p \ge 0$ i~hybnost $p \ge 0$,
mus� minim�ln� hodnota hybnosti b�t ��du $p_{\rm min} \simeq \Delta p$.
Z~principu neur�itosti v�me z�rove�, �e:
%
$$\Delta p \simeq {\hbar\over\Delta x}\,,$$
%
tak�e rychlost ��stice vyj�d��me jako:
%
$$v \simeq {p_{\rm min}\over m} \simeq {\hbar\over m L}\,.$$
%
Nejv�t�� vzd�lenost, kterou ��stice m��e prolet�t, aby nevylet�la z~boxu,
je $L = v\Delta t$. Po dosazen�:
%
$$L = {\hbar\over mL} {\hbar\over mc^2}\,,\qquad
L^2 = {\hbar^2\over m^2 c^2}\,,\qquad
L \simeq {\hbar\over mc}\,.$$
%
Abychom vytvo�ili {\em p�r\/} virtu�ln�ch ��stic, mus� b�t hustota energie vakua b�t:
%
$$u_{\rm vac} \simeq {2 mc^2\over L^3} \simeq {2 m^4 c^5\over\hbar^3}\,.$$
%
Nejv�t�� hmotnost, kter� p�ich�z� v~�vahu, je Planckova hmotnost:
%
$$m_{\rm p} = \sqrt{\hbar c\over G} \simeq 10^{19}\,{\rm GeV}\,,$$
%
odkud plyne:
%
$$u_{\rm vac} \simeq {2 m_{\rm p}^4 c^5\over\hbar^3} \simeq {2c^7\over G^2\hbar} \simeq 10^{114}\,{\rm J}\cdot{\rm m}^{-3}\,.$$
%
P�esn�j�� teorie d�v� $u_{\rm vac} \simeq 10^{111}\,{\rm J}\cdot{\rm m}^{-3}$.
To je v~p��kr�m rozporu s~m��enou hodnotou:
%
$$u_{\Lambda} = \rho_{\Lambda} c^2 = \rho_{\rm c}\Omega_\Lambda c^2 = 6,22\cdot10^{-10}\,{\rm J}\cdot{\rm m}^{-3}\,.$$

}

Nelze vylou�it mo�nost, �e ve vesm�ru existuje n�jak� dal��
skal�rn� pole, jako je zmi�ovan� kvintesence.

\bibliography
\bibitem{Carrol S.~M.}{A No-Nonsense Introduction to General Relativity\online.}{\cited{2010-03-08}. \url{http://preposterousuniverse.com/grnotes/grtinypdf.pdf}.}{grtiny}
\bibitem{Carrol B.~W., Ostlie D.~A.}{An Introduction to Modern Astrophysics.}{San Francisco: Pearson, Addison Wesley, 2007. ISBN~0321442849.}{carrol_ostlie_2007}
\bibitem{Nollet K.~M., Burlet S.}{Estimating reaction rates and uncertainties for primordial nucleosynthesis}{Phys.\ Rev.\ D, 61, 123505, 2000.}{Nollett_Burlet_2000}
\bibitem{}{Reduce.\online}{\cited{2010-03-08}. \url{http://www.reduce-algebra.com/}.}{reduce}
\bibitem{}{Supernova Cosmology Project\online.}{\cited{2012-01-27}. \url{http://supernova.lbl.gov/}.}{Union}
\bibitem{Weinberg S.}{Cosmology.}{Oxford: Oxford University Press, 2008. ISBN~0198526822.}{Weinberg_2008}
\endbibliography

\end

\endinput


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

velko�k�lov� struktura
kvatov�--mechanick� fluktuace

expanze nemohla b�t �ist� friedmannovsk�
inflace
pro� jsou vzd�len� ��sti vesm�ru stejn�, i~kdy� jsou vn� sv�teln�ho ku�ele?
p�vodn� byly ��sti vesm�ru bl�zko, uvnit� sv�teln�ho ku�ele,
�ili fotony mohly vyrov�vat jejich teplotu
pak ale do�lo k~inflaci, n�hl�mu rozepnut�, kter� tyto ��sti od sebe vzd�lilo

teplota $T(t)$
tlak $p(t)$
anihilace
rekombinace

akustick� oscilace v~plazmatu tvo�en�m baryony a~fotony
dif�zn� tlumen� (angl.~Silk damping)
prvn� akustick� vrchol
Sunyaev�v---Ze\'ldovi��v jev (zm�na tvaru spektra CMB rozptylem na energetick�ch elektronech)
Sachs�v--Wolf�v jev (gravita�n� rud� nebo modr� posuv foton� CMB)
baryonov� oscilace (BAO)


po�et galaxi� v~pozorovateln�m vesm�ru: asi 80~miliard,
po�et hv�zd: $3\hbox{ a� }5\cdot 10^{22}$,
po�et atom�: $5\cdot10^{22} \cdot 2\cdot10^{30}\,{\rm kg} / 1,66\cdot10^{-27}\,{\rm kg} \simeq 10^{80}$,
po�et foton� CMB: asi $10^{90}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\myitem{v�voj vesm�ru po Velk�m t�esku}:

supersymetrie? (siln�, slab�, elmag. i~gravita�n� interakce jsou stejn� velk�)
\=> 1~interakce, nezn�m� fyzik�ln� z�kony, kvantov� gravitace?, struny?

1) $10^{-43}\,{\rm s}$ (Planckova epocha) --- odd�len� gravitace

teorie velk�ho sjednocen� (GUT)

2) $10^{-36}\,{\rm s}$ --- odd�len� siln� a~elektroslab� interakce

kvantov�-mechanick� fluktuace \=> dne�n� velko�k�lov� struktura vesm�ru

Pro� je vesm�r ve v�ech sm�rech t�m�� stejn�?

(friedmannovsk� expanze \=> ��sticov� horizont je p��li� mal� \=> musela by b�t vid�t n�jak� anizotropie vesm�ru = \uv{probl�m horizontu})

3) $\Leftarrow$ {\em inflace\/} (p�v. Guth 1981) $\leftarrow$ nejist� �as ($10^{-35}\,{\rm s}$?), nejist� zdroj
p�ed inflac� BYL vesm�r mal� a~kauz�ln� spojen� \=> dne�n� izotropie
a� nyn� do�lo k~odd�len� sv�teln�ch ku�el�
po skon�en� inflace: energie inflatonov�ho pole \-> tepeln� energie ��stic

elektroslab� �ra

4) $10^{-12}\,{\rm s}$ --- odd�len� slab� a~elektromagnetick� interakce \=> dne�n� 4~s�ly

kvarkov� �ra

v�t�inu hmoty/energie vesm�ru tvo�� kvark-gluonov� plazma

5) $10^{-6}\,{\rm s}$ --- kvarky se staly v�zan� v~hadronech

hadronov� �ra

6) 1\,s --- uvoln�n� reliktn�ch neutrin (nejsou dnes pozorovateln�)
   anihilace proton�/antiproton� (nebo� ji� nejsou produkovan� p�ry proton/antiproton)

leptonov� �ra

3\,min -- 20\,min {\em nukleosynt�za\/}

Pro� p�i nukleosynt�ze vzniknul JEN H, He, Li a~prakticky ��dn� t쾹� prvky?

$\Leftarrow$ $^7$Be je p��li� nestabiln� a~vesm�r se rozepnul p��li� rychle

Pro� vznikla hmota a~ne antihmota?

$\Leftarrow$ zat�m nezn�m� nesymetrick� rozpad element�rn�ch ��stic (1~��stice na $10^{10}$~p�r�) %
(dnes ale nezn�me {\em ��dnou} interakci, kter� by poru�ovala z�kon zachov�n� po�tu baryon�); %
anihilace ��stic a~anti��stic \=> {\em fotony CMB\/}

8) 3\,min --- anihilace elektron�/pozitron� (resp.~nejsou tvo�en� p�ry)

�ra z��en�

9) 70\,000\,yr --- za��n� dominovat hmota nad z��en�m

perturbace hustoty rostou (z��en� u� je nesta�� vyrovn�vat)

10) 380,000\,yr --- rekombinace elektron� \-> neutr�ln� atomy \-> voln� pohyb foton� = vznik CMB (\uv{otisk} fluktuac� hustoty hmoty v~tomto obdob�)

temn� obdob� --- neutr�ln� atomy na z�kladn�ch hladin�ch nez���,
pouze spinov� p�echod vod�ku na r�diov� ���e 21\,cm

11) $\approx\!200\,{\rm My}$ --- reionizace l�tky UV z��en�m nov� vznikl�ch masivn�ch \hvezd\ populace~III

supernovy \-> stel�rn� �ern� d�ry (BH) \-> supermasivn� BH \-> {\em kvasary\/}

12) $\approx\!600\,{\rm My}$ --- vznik prvn�ch galaxi� a~v~nich \hvezd\ populace~II

kupy galaxi� (vz�jemn� p�ita�livost galaxi�, resp.~temn� hmoty)

13) $\approx\!4\,{\rm Gy}$ --- vznik prvn�ch \hvezd\ populace~I


